第十五讲 对策问题
（教材：第十五章 对策问题）
〔例 3〕（教材中田忌赛马）将田忌和齐威王的各种决策组合及齐威王净胜的场次列表如下。
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齐 威 王 出 马 决 策 |
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123 |
132 |
213 |
231 |
312 |
321 |
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田 忌 出 马 决 策 |
123 |
3 |
1 |
1 |
－1 |
1 |
1 |
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132 |
1 |
3 |
－1 |
1 |
1 |
1 |
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213 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
－1 |
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231 |
1 |
1 |
1 |
3 |
－1 |
1 |
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312 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
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321 |
－1 |
－1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
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从表中容易验证田忌赛马满足上述随机决策的所有特点。特别从表中可见，齐威王的任何一种决策，田忌都有取胜的决策。由此还可推出，如果时间上双方决策可以有先后，对胜负结果有很大的影响。
四. 随机对策的最大期望解
我们应用概率论中数学期望来计算重复进行对策活动的平均结果。
在田忌赛马的例子中，我们假设双方采用每种策略的可能性都相同。这时，各种对策的组合出现的可能性都相同， 即概率都等于 
。 由表中齐威王的净胜场次为 -1 和 3 的概率都是 
， 净胜场次为
1 的概率为 
。 于是齐威王的期望净胜场次为
其含义是：齐威王和田忌若按随机对策方法经常赛三匹马（三场）， 则齐威王每次平均要净赢田忌一场。我们也可以计算齐威王某种出马次序净胜场次的期望值。 假设齐威王采取的出马次序为
123 ，田忌采取六种出马次序中每种出马次序的概率都是 
。此时齐威王的净胜场次为 -1
和 3 的概率都是 
， 净胜场次为 1 的概率是 
。 于是齐威王采取出马次序为
123 的期望净胜场次为
。
同样可以计算田忌偏爱某种出马次序时的期望净胜场次。 假设田忌采用出马次序 312 的概率为
， 其余各种出马次序的概率各为 
， 并且假设这种偏爱已被齐威王识破。此时齐威王最佳的出马次序为 312，我们就假设齐威王的出马次序总是 312 。齐威王每次赛马净胜场次的期望为
。
即平均每 5 次比赛齐威王净胜田忌 9 匹马。 这说明， 和无偏爱地随机选择对策的情况相比， 田忌偏爱某种出马次序可能会造成更大的损失。同时，当一方知道了另一方采用各种对策的概率，应该选择使本方“收益”最大的对策。