第十四讲 动态系统---差分方程
（教材：第十四章 动态系统---差分方程）
一. 动态变量和动态系统
二. 建立差分方程模型
三. 求解简单差分方程模型的方法
一. 动态变量和动态系统
在日常生活和科学技术中我们经常遇到一些和时间有关的量， 例如一天的气温，
证券市场的指数，一个地区人口数，
。 研究这些量随时间变化的规律， 在理论和实践上都有重要的意义。 随时间而变化的量称为动态变量
，随时间而变化的系统称为动态系统。
由于数列和差分方程可以表示、描述事物的发展变化，它们已成为研究动态系统的一种常用的数学工具。
二. 建立差分方程模型
通过例子来研究建立差分方程模型的方法。
〔例1〕 生态系统
问题的提出 设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁育着一群野兔。 开始时共有野兔 100 只。野兔数目如何随时间而变化？
引进记号来表示问题中的变量 假设第 1 年野兔的数目用 
表示， 第 2 年野兔的数目用 
表示，
， 第 
年野兔的数目用 
表示。由已知开始 (记为第 0 年) 时的野兔数， 有 
。
假设和模型
1. 第一个模型
先作如下的假设:
下一年野兔的数目和上一年的数目成正比， 且比例数是一个常数， 记为 
。
假设的合理性说明: 在野兔的食物---青草非常充足的条件下， 一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，
而成年母兔数又和野兔总数成正比， 因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。 另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样， 第 
年野兔的净增加数(出生数减去死亡数) 
和上一年野兔的数目 
成正比。
由假设列出方程:
移项整理后得到方程
(1)
这里 
。
这是一种迭代形式的差分方程。
模型的求解： 如果知道上一年的野兔总数 
，代入方程的右端，就可以求出下一年野兔的总数 
。这样的求解方法称为迭代法。因为已经知道开始时野兔总数为
100，即 
, 第一年的野兔总数按方程可得到 
。再把 
代入方程右端，得到第二年的野兔总数为
，由此可以归纳出第 
年的野兔总数为
。
模型结果讨论： 先假设 
.对 
的不同值计算对应的 
列表（教材P177）观察，50 年后一个小荒岛上居然会有 20 亿只野兔！这样的增长明显地和小岛的资源不相称。究其原因，也许有人会认为
太大，但是对于一年可以生育 2～3 次的兔子来说， 
不应该算太大。问题在于 
表示为 
的指数函数。指数函数是无限增大的，并且每年增加的数目逐年无限制地变大。但是这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来?
其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。