第十四讲 动态系统---差分方程
（教材：第十四章 动态系统---差分方程）
（二） 进一步的模型---包含厂商价格期望的模型
假设： 本期的供应量与厂商对本期价格的预期有关。设
此处 
是厂商对本期价格的期望。
假设讨论：若 
，表示厂商认为本期的价格和将和上一期的实际价格一样，这样得到的供应函数和前面相同。若取
)，
表示厂商认为本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量
。
当 
时，表示厂商认为价格还会延续上一期的趋势: 上一期相对前一期上升，则本期的价格也将比上一期上升;
上一期相对前一期下跌，则本期的价格也将比上一期下跌。当 
时，表示厂商认为价格的变化趋势会发生改变: 上一期相对前一期上升，则本期的价格将比上一期下跌;上一期相对前一期下跌，则本期的价格反而将会比上一期上升。
数学模型：由供需平衡得到数学模型
。
整理后得到
。 (8)
模型求解：为求解此方程，我们设法先求出方程如下形式的一个特解：
，
其中 
是待定常数。代入方程后得到等式
。
可以解得 
。这个解也就是静态平衡解。
为求出方程 (8) 的一般解，作函数变换 
，其中 
为已求得的平衡解。以 
代入方程 (8)，得 
满足方程
。 (9)
设方程 (9) 的解为如下形式的函数:
。
其中 
是待求的不为零的常数 (
时 
是一个显然解)。代入方程后得
。
可改写为关于 
的二次代数方程
.
解此方程一般可以得到两个解 
。于是方程 (8) 的解的一般形式为
其中 
是两个任意常数，可以由具体情况确定。
三. 求解简单差分方程模型的方法
下面形式的差分方程，我们称之为二阶线性常系数差分方程：
(10)
这里的 
、
、
都是已知常数。注解
可按下列步骤求解二阶线性常系数差分方程(10) 。
1. 先求方程(10)的一个特解
由于方程右端是一个常数 
，我们尝试求 
形式的解，其中 
是待定的常数。代入方程(10)后我们得到等式
。
一般（若 
）得到解 
。
2. 再以 
形式代入方程，求出 
满足的方程
以 
形式代入方程
得到 
满足差分方程
(11)
注：比较方程(10)和(11)，两个方程的右端相同，差别仅在于方程右端：(11)右端为0，(10)右端不为0 。称方程(11)为方程(10)对应的齐次方程。
到此注结束
3. 求 
的表达式
设方程(11)的解为如下形式的函数:
其中 
是待求的不为零的常数 ( 
=0 时 
是一个显然解)。代入方程后得
约去不为零的因子 
后得到关于 
的一个二次代数方程
。
解此方程一般可以得到两个解 
。于是方程(11)的解的一般形式为
，
其中 
、 
是两个任意常数，由具体情况确定。
4. 方程(10)的解的一般形式为
，
〔例3〕求解下列方程满足 
、
的解：
(12)
解 1.先求上述方程的常数解 
，代入方程后得到 
。
2.以 
代入方程，
满足对应的齐次方程
3. 求 
形式的解，
满足一元二次代数方程
。
得到 
、3 。
4. 满足方程(12)的 
：
。
由 
、
的要求，可得到
。
解得 
、
。满足要求的解为
。