第十四讲 动态系统---差分方程
（教材：第十四章 动态系统---差分方程）
2. 改进模型
假设1：设想小荒岛上的青草最多可以养活十万只野兔，记 
(十万)。
假设2：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数 
与上一年的野兔数目有关。具体地说，在方程(1)中设 
。
建立模型：
。 (2)
模型（假设）的合理性：方程 (2) 等价于
(3)
方程左端 
是前后两年野兔数目的比值。当 
与 
之差 
是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数
可以有一个较大的增长。当 
与 
之差 
是一个较小的正数时，说明自然资源已没有更多的能力支持野兔种群的扩大。当 
时，野兔总数还会减缩。
模型计算：利用与第一个模型求解类似的迭代法，可以依次求出各个 
。
结果讨论：随着时间 n 的发展，
会越来越趋于 33333，这个数是自然资源和野兔内在增长机制之间的一个平衡量。画出
与时间 n 的图像，可见曲线大体呈 S 状。
这里的数字 33333 可以从方程直接求得。设想随着时间的推移，野兔的数目不再变化，记为
。方程(2)中的 
和 
都用 
代入，得到方程
， (4)
解此方程得 
。
本例小结：本例建立的两个模型，都是先对野兔数目的增长率作出一定的假设，再根据假设列出野兔数目所满足的差分方程。