第三讲 复利计算的数学模型
（教材： 第三章 复利计算的数学模型）
一. 单利和复利
二. 货币的时间价值（现值和终值）
三. 周期支付和偿还问题
一. 单利和复利
单利
在贷款过程中，本期利息不转入下期本金的计算利息方法称为单利法。利息与本金之比称为利率。以
表示本金，
表示利息，利率记为
，则有
。
若贷款时间为
期，，则单利计算公式为：
〔例1〕 50000 元存了 5 个月得利息 1400元，单利计算，求月利率。
解
已知 
, 
, 
0 。 从上式解出 
，得
即月利率为 5 厘 6 。
复利
在贷款一期之末结息一次，并将利息转入本金，即该利息与本金一起作为下一期本金产生利息，
这种计息方法称为复利。记本利和为
，
。第 2 期末的本利和为
，
第 3 期末的本利和为：
，……，第 
期末的本利和为：
。
贷款
期的利息为
。
〔例2〕 若本金为 700 元，年利率为 10％，复利计算。为得本利和 1240 元，求存期。
解
在等式 
两边取常用对数得
，
已知
, 
, 
, 从上式解出 
, 得
年，
即为得本利和 1240 元，需存 6 年。
二. 货币的时间价值（现值和终值）
货币用来投资，随着时间的推移会产生收益，从而使货币增值，这就是货币的时间价值。由于银行利率由经济发展的各种因素综合确定，因此，通常用银行利率来计算货币的时间价值。终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。
在复利计算公式
中，
称为 
期末 
的终值，表示现在的 
元到 
期末将变为 
元 。反过来，
期末的 
元相等于现在的 
元，
和 
的关系为
。
称为 
的现值。
〔例3〕
公司欲进行厂房投资，厂房价格为
万元。据预测，厂房
3 年后的价格将为
27 万元，银行年利率为
，试问此项投资是否合算。
解法一 计算 3 年后 
万元的现值，
（万元），
万元，即现值低于投资，投资不合算。
解法二
计算 
万元 3 年后的终值
（万元）。
万元，即存银行收益率超过房屋投资的收益，该房屋投资是不可行的。
两种解法的结论一致。