第一讲 引论
引论（教材：第一章）
一. 数学建模的含义
二. 数学建模的一般步骤
三. 通过例子理解建模的有关环节
四. 数学建模和列方程解应用题的差别
一. 数学建模的含义
数学建模是指：根据实际问题，在一定的假设下把问题归结为数学问题，求出数学问题的解并对解进行检验的全过程。所归结的问题称为实际问题的数学模型。
注意：数学建模一般不是一蹴而就的，而是从实践到理论，再从理论到实践，不断反复修正（教材中说的“迭代”）以使模型最后与实际相符的过程。
二. 数学建模的一般步骤
包括六个环节：建模准备，作假设，建立模型，模型求解，讨论和验证，模型应用。各步骤的关系可以用下面的框图表示：
特别要注意图中：当通过讨论和验证，数学模型的解和实际情况不符时，必须重新研究实际问题，修改假设 并重新建立模型；只有当模型的结果和实际情况相符时，才可以进入下一步在实践中应用所得的数学模型，即考虑利用模型或作预测或求最佳方案或解释客观实际现象等。
三. 通过例子理解建模的有关环节
下面我们结合例 1 说明上述建模的有关环节：
〔例1〕一个星级旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55％；每间客房定价为140元，住房率为65％；每间客房定价为120元，住房率为75％；每间客房定价为100元，住房率为85％。欲使每天的收入最高，问每间住房的定价应是多少？
要注意在例子中提到的情景和经分析后所作的三个假设之间的区别和联系。
假设一“每间客房的最高价为 160 元”，这是原先情景中没有的。这个假设使我们在下面求函数的最小值时能够确定自变量的范围。同时要注意到这个假设是合理的，因为“无其它信息”。
假设二“住房率随房价下降而线性增长”也是原先情景中没有的。这个假设可以使得我们可以具体地写出旅馆一天的总收入函数
的表达式。同时要注意到这个假设是合理的，
其合理性容易从经理给出的数据中看出：房价每下降 20
元，住房率就增加 10 个百分点。
假设三“各间客房定价相等”的假设，一方面是由于情景中没有给出“各间客房定价不同”的信息，另一方面是为了计算的简便。容易理解：如果各间客房定价不同将会使问题变得复杂而难以分析。
这三个假设在下面的建模过程中的作用已在上面文字中用蓝色标出。
其次要注意把实际问题归结为数学问题的过程。
首先设变量：以 
记旅馆的总收入，以 
记与 160 元相比降低的房价，即房价为 
。
通过分析可以得到 
和 
的关系为
注意这个表达式自变量的变化范围为
.
问题就变成求
这就是问题的数学模型。
求解该数学问题。
这里应用配方法求得函数的最大值。此时定价应为
元。
最后是模型的讨论与验证。
教材中验证了得到的 
元确实是使总收入达到最大的房价。
在实际应用时，更重要的是上述结论是否符合实际。例如现在的定价不是 25 元，改按这种方法定价是否能使旅馆的总收入有所增加？实际每间客房的房价不同是否对总收入影响很大而不可忽略，从而我们这里的假设三不再成立等等。
四. 数学建模和列方程解应用题的差别
作为中学教师，应该注意数学建模和列方程解应用题的差别。两者初看起来都和实际问题有关，但是至少在三个方面有着质的差别：
问题的起点不同：应用题的情景是经过数学教师加工提炼出来的，而数学建模面对的是实际问题本身。
作为数学建模的例子来说，上述例 1 的情景可以设想为：旅馆提出了如何提高旅馆总收入的问题，即最原始的实际问题是“房价如何定可以使旅馆的总收入达到最大？” 为解决这个问题，经过调查，从旅馆经理那里得到了一些以往房价与住房率的关系；接着在分析后作出例中的三个假设。而对应用题来说，问题就从经理的数据和三个假设以后开始，即假设由题目给出。这样，对应用题来说，假设是否合理是否符合实际是不需要考虑的。而对数学模型来说，作出合理的假设是正确解决问题的一个至关重要的环节。
结果的讨论与验证不同：例如求方程根的问题，应用题会讨论在求解的过程中是否有失根或增根发生，根是否合乎题意等；数学模型除了需要讨论这些问题外，还要讨论求得的根是否合乎实际情况，有时还要根据实际情况讨论：当改变方程中的某些系数时，根会如何变化等。
解是否唯一不同：应用题的正确答案只有一个。但对数学建模而言，由于人们对实际问题的认识不同、分析的角度不同、所具有的数学知识的背景不同，即使是对同一个实际问题，也会得到不同的数学模型。判断数学模型的正确性只能看其结论是否符合实际情况，例如根据数学模型所计算的结果是否和已知的数据相符；根据数学模型对某些事物的发展所作的预测是否和事物后来的变化一致等等。在这里模型的不同，甚至计算得到的解的数值在一定的范围内有些差别都是允许的。
如果我们把例 1 改写成应用题，应该有不同的形式。