第15讲 17世纪的欧洲数学（法国）

17.5 对数的发明

在15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus, 1436～1476）撰写《论各种三角形》之前的欧洲，三角学一直依附于天文学，为天文计算服务。16世纪初，德国天文学家维纳（J. Werner, 1468～1522）为了简化天文计算，率先使用了后人以他的名字命名的三角公式：

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

2sinAsinB =cos(A-B) -cos(A+B)

例如，要计算98,436´79,253，可设cosA=0.49218，cosB=0.79253。从三角函数表中查得A和B，然后又从三角函数表中查得cos(A+B)，cos(A-B)，根据维纳公式，即得2cosAcosB。将小数改成整数，就得到所求的乘积。

这种方法被称为“加减术”，主要为在天文台从事研究工作的天文学家所使用。丹麦著名天文学家第谷（Tycho Brahe, 1546～1601）就曾使用过这种方法。不过，1590年以前，苏格兰人还不知道这种方法。

1590年，苏格兰国王詹姆斯六世（后来的英格兰詹姆斯一世）率船队远航丹麦，迎娶丹麦的安尼公主。途中船队遇到暴风雨，被迫在离第谷天文台不远的地方靠岸停泊，等候天气好转。第谷接待了远方的贵客，并向客人介绍了天文台里进行计算所使用的工具——“加减术”。

詹姆斯六世这次远航的随行人员中，有一位名叫克莱格（J. Craig）的御医。约在1594年，克莱格造访了苏格兰Markinston的一位业余数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617），告诉他丹麦天文学家所用的“加减术”。

当时的纳皮尔正在考虑简化天文计算的问题——如何变乘法为加法。我们知道，早在公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德就已经认识到一个数的诸次幂所构成数列与它们的指数所构成数列之间的对应关系。比如说，考虑两个数列

0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

…

显然我们有

，，，

这就是说：指数的和（3+4）、差（7-3）、倍数（2´3）和几分之一（）分别与幂的乘积、商、乘方和开方相对应。15世纪法国数学家休盖、16世纪德国数学家施雷伯（Heinrich Schreiber, ?～1525）、16世纪奥地利数学家鲁道夫（C. Rudolff, 1499～1545）、德国数学家阿皮亚努斯、荷兰数学家弗里修斯（Gemma Frisius, 1508～1555）等都在他们的著作中讨论过上述对应关系。16世纪德国数学家斯蒂菲尔在其《整数的算术》（Arithmetica Integra, 1544）中将两个数列

0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 16

1 2 4 8 16 32 64 128 256 … 65536

中上数列的各项称为“指数”，并说因数的指数相加得到因数乘积的指数，因数的指数相减得到因数商的指数。斯蒂菲尔提出四条法则：

1° 算术级数中的加法对应几何级数中的乘法；

2° 算术级数中的减法对应几何级数中的除法；

3° 算术级数中的乘法对应几何级数中的乘方；

4° 算术级数中的除法对应几何级数中的开方。

斯蒂菲尔还将上述法则推广到负指数情形。16世纪许多法国数学家也知道乘法法则。

然而，由于一个正整数诸次幂所构成数列的相邻两项间隔太大，因此，上述法则对于实际计算并没有多少价值。克莱格造访前，纳皮尔正在考虑这个问题。克莱格带给他的这个信息激励他加倍努力地对简化计算的方法进行探求。谁知，这求索之路是如此漫长，一走就是20年！

1614年，英国数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）出版《奇妙的对数表》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio）。在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机：

“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长久期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……”

纳皮尔

纳皮尔考虑两种运动：设AB是一线段，DE是一射线。设想有两点从A和D点同时出发，分别沿AB和DE运动，初速相同。射线DE上点的运动是匀速的，而线段AB上点的运动则以如下方式减速：当它运动到任一点C时，其速度与剩余距离CB成正比。第一点运动到点C时，第二点运动到点F。纳皮尔称DF为CB的对数。

图 17-11 DF为CB的对数

纳皮尔计算的是正弦函数值的对数，而不是正整数的对数：取，BC是角的正弦；DF是它的对数。设，，则。C点的速度为。此即

，

但当时，故。另一方面，第二个点的速度恒为，因此。于是纳皮尔所定义的对数（用表示）与我们今天的自然对数之间的关系为

显然，。纳皮尔给出如下法则：

1º 若，则；

2º 若，则。

纳皮尔给出和之间每隔的正弦——对数表。正弦值（真数）精确到7位，对数值精确到8位。图17-10是—之间的正弦——对数表的一部分。左边第一列是角的大小（如30表示），第二列是正弦值，第三列正弦值的对数，右边第一列是左边第一列角的余角（如，30表示，29表示，等等），右二列是对应的正弦值，右三列是对应的对数值，最中间一栏（Differentiae）是左第三列（的对数）和右第三列（的对数）差值，即

图 17-12 纳皮尔的对数表

1614年，英国数学家、伦敦Gresham学院首任几何学教授布里格斯（H. Briggs, 1561～1630）阅读了纳皮尔的《奇妙的对数表》。此前，布里格斯正从事天文学研究，繁重的天文计算正是他试图克服的困难。因此，纳皮尔的对数著作在翌年3月10日写给朋友詹姆斯·乌歇尔（James Ussher）的信中，纳皮尔这样写道：

“Markinston的纳皮尔爵士出版了一部著作，包含了他新发明的奇妙对数。我希望今夏与他见面，因为我从未见到过一本能让我如此快乐，令我如此惊奇的书。”

布里格斯在阅读纳皮尔对数著作后，开始考虑对纳皮尔的对数进行改进，并且引入课堂教学。在荷兰书商弗拉克（A. Vlacq, 1600～1657）为布里格斯《对数的算术》（Arithmetica Logarithmica, 1624）序言中含有布里格斯的这样一段话：

“我本人在伦敦Gresham学院向学生讲解这个理论时，曾说，把0作为整个正弦（＝10，000,000）的对数，要方便得多……我就此立即写信给作者本人；暑期一来临，我就去了爱丁堡。在那里，他（纳皮尔）十分热情地接待了我。我整整呆了一个月。当我们谈到对对数作改进时，他说他也有同样的想法，并且希望完成它。……他的想法是……应将0作为1的对数，10,000,000,000作为整个正弦的对数，我不能不承认，这是最方便的。”

布里格斯从伦敦到爱丁堡去见纳皮尔是1615年夏天的事。那时，从伦敦到爱丁堡，乘坐马车至少需要4天，不象今天，坐火车只需4小时。当时的旅途也比我们想象得要困难得多：布里格斯没能在约定时间赶到爱丁堡。一天，纳皮尔在自己家中与朋友马尔（John Marr）谈起布里格斯： “哦！约翰，” 纳皮尔说，“布里格斯今天不会来了。”话音刚落，有人敲门。马尔急忙下楼开门，使他高兴的是，来人正是布里格斯。他把客人带到爵士的房间里。纳皮尔与布里格斯互相仰慕地打量了几乎一刻钟，双方不发一言。最后，布里格斯开了口：“我的爵士先生，这次远道而来，是专程拜望您的，并想向您了解您一开始是如何想到对数这一精彩的天文学的辅助工具的。在您作出这一发现之前，没有其他人发现过，而现在人们知道它是如此容易。”

在会面之前写给纳皮尔的那封信中，布里格斯建议以10作为对数的底，整个正弦东对数为0，其部分的对数为10,000，000，000。见面后，纳皮尔向布里格斯建议，新对数表应以10为底，且1的对数为0，整个正弦的对数为10,000,000,000。

1616年，布里格斯再次从伦敦去爱丁堡拜访纳皮尔，并计划于翌年暑期再次拜访他。令人痛心的是，纳皮尔不幸于翌年春天去世。

1624年，布里格斯出版他的《对数的算术》，书中包含从1到20,000以及从90,000到100,000的14位对数表。

1628年，弗拉克补充了从20,000到90,000的对数，出版了完整的常用对数表。

	第十七章 17世纪的欧洲数学
	17.5 对数的发明在15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus, 1436～1476）撰写《论各种三角形》之前的欧洲，三角学一直依附于天文学，为天文计算服务。16世纪初，德国天文学家维纳（J. Werner, 1468～1522）为了简化天文计算，率先使用了后人以他的名字命名的三角公式： 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) 2sinAsinB =cos(A-B) -cos(A+B) 例如，要计算98,436´79,253，可设cosA=0.49218，cosB=0.79253。从三角函数表中查得A和B，然后又从三角函数表中查得cos(A+B)，cos(A-B)，根据维纳公式，即得2cosAcosB。将小数改成整数，就得到所求的乘积。这种方法被称为“加减术”，主要为在天文台从事研究工作的天文学家所使用。丹麦著名天文学家第谷（Tycho Brahe, 1546～1601）就曾使用过这种方法。不过，1590年以前，苏格兰人还不知道这种方法。 1590年，苏格兰国王詹姆斯六世（后来的英格兰詹姆斯一世）率船队远航丹麦，迎娶丹麦的安尼公主。途中船队遇到暴风雨，被迫在离第谷天文台不远的地方靠岸停泊，等候天气好转。第谷接待了远方的贵客，并向客人介绍了天文台里进行计算所使用的工具——“加减术”。詹姆斯六世这次远航的随行人员中，有一位名叫克莱格（J. Craig）的御医。约在1594年，克莱格造访了苏格兰Markinston的一位业余数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617），告诉他丹麦天文学家所用的“加减术”。当时的纳皮尔正在考虑简化天文计算的问题——如何变乘法为加法。我们知道，早在公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德就已经认识到一个数的诸次幂所构成数列与它们的指数所构成数列之间的对应关系。比如说，考虑两个数列 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … … 显然我们有，，，这就是说：指数的和（3+4）、差（7-3）、倍数（2´3）和几分之一（）分别与幂的乘积、商、乘方和开方相对应。15世纪法国数学家休盖、16世纪德国数学家施雷伯（Heinrich Schreiber, ?～1525）、16世纪奥地利数学家鲁道夫（C. Rudolff, 1499～1545）、德国数学家阿皮亚努斯、荷兰数学家弗里修斯（Gemma Frisius, 1508～1555）等都在他们的著作中讨论过上述对应关系。16世纪德国数学家斯蒂菲尔在其《整数的算术》（Arithmetica Integra, 1544）中将两个数列 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 16 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … 65536 中上数列的各项称为“指数”，并说因数的指数相加得到因数乘积的指数，因数的指数相减得到因数商的指数。斯蒂菲尔提出四条法则： 1° 算术级数中的加法对应几何级数中的乘法； 2° 算术级数中的减法对应几何级数中的除法； 3° 算术级数中的乘法对应几何级数中的乘方； 4° 算术级数中的除法对应几何级数中的开方。斯蒂菲尔还将上述法则推广到负指数情形。16世纪许多法国数学家也知道乘法法则。然而，由于一个正整数诸次幂所构成数列的相邻两项间隔太大，因此，上述法则对于实际计算并没有多少价值。克莱格造访前，纳皮尔正在考虑这个问题。克莱格带给他的这个信息激励他加倍努力地对简化计算的方法进行探求。谁知，这求索之路是如此漫长，一走就是20年！ 1614年，英国数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）出版《奇妙的对数表》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio）。在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机： “没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长久期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……” 纳皮尔纳皮尔考虑两种运动：设AB是一线段，DE是一射线。设想有两点从A和D点同时出发，分别沿AB和DE运动，初速相同。射线DE上点的运动是匀速的，而线段AB上点的运动则以如下方式减速：当它运动到任一点C时，其速度与剩余距离CB成正比。第一点运动到点C时，第二点运动到点F。纳皮尔称DF为CB的对数。图 17-11 DF为CB的对数纳皮尔计算的是正弦函数值的对数，而不是正整数的对数：取，BC是角的正弦；DF是它的对数。设，，则。C点的速度为。此即，但当时，故。另一方面，第二个点的速度恒为，因此。于是纳皮尔所定义的对数（用表示）与我们今天的自然对数之间的关系为显然，。纳皮尔给出如下法则： 1º 若，则； 2º 若，则。纳皮尔给出和之间每隔的正弦——对数表。正弦值（真数）精确到7位，对数值精确到8位。图17-10是—之间的正弦——对数表的一部分。左边第一列是角的大小（如30表示），第二列是正弦值，第三列正弦值的对数，右边第一列是左边第一列角的余角（如，30表示，29表示，等等），右二列是对应的正弦值，右三列是对应的对数值，最中间一栏（Differentiae）是左第三列（的对数）和右第三列（的对数）差值，即图 17-12 纳皮尔的对数表 1614年，英国数学家、伦敦Gresham学院首任几何学教授布里格斯（H. Briggs, 1561～1630）阅读了纳皮尔的《奇妙的对数表》。此前，布里格斯正从事天文学研究，繁重的天文计算正是他试图克服的困难。因此，纳皮尔的对数著作在翌年3月10日写给朋友詹姆斯·乌歇尔（James Ussher）的信中，纳皮尔这样写道： “Markinston的纳皮尔爵士出版了一部著作，包含了他新发明的奇妙对数。我希望今夏与他见面，因为我从未见到过一本能让我如此快乐，令我如此惊奇的书。” 布里格斯在阅读纳皮尔对数著作后，开始考虑对纳皮尔的对数进行改进，并且引入课堂教学。在荷兰书商弗拉克（A. Vlacq, 1600～1657）为布里格斯《对数的算术》（Arithmetica Logarithmica, 1624）序言中含有布里格斯的这样一段话： “我本人在伦敦Gresham学院向学生讲解这个理论时，曾说，把0作为整个正弦（＝10，000,000）的对数，要方便得多……我就此立即写信给作者本人；暑期一来临，我就去了爱丁堡。在那里，他（纳皮尔）十分热情地接待了我。我整整呆了一个月。当我们谈到对对数作改进时，他说他也有同样的想法，并且希望完成它。……他的想法是……应将0作为1的对数，10,000,000,000作为整个正弦的对数，我不能不承认，这是最方便的。” 布里格斯从伦敦到爱丁堡去见纳皮尔是1615年夏天的事。那时，从伦敦到爱丁堡，乘坐马车至少需要4天，不象今天，坐火车只需4小时。当时的旅途也比我们想象得要困难得多：布里格斯没能在约定时间赶到爱丁堡。一天，纳皮尔在自己家中与朋友马尔（John Marr）谈起布里格斯： “哦！约翰，” 纳皮尔说，“布里格斯今天不会来了。”话音刚落，有人敲门。马尔急忙下楼开门，使他高兴的是，来人正是布里格斯。他把客人带到爵士的房间里。纳皮尔与布里格斯互相仰慕地打量了几乎一刻钟，双方不发一言。最后，布里格斯开了口：“我的爵士先生，这次远道而来，是专程拜望您的，并想向您了解您一开始是如何想到对数这一精彩的天文学的辅助工具的。在您作出这一发现之前，没有其他人发现过，而现在人们知道它是如此容易。” 在会面之前写给纳皮尔的那封信中，布里格斯建议以10作为对数的底，整个正弦东对数为0，其部分的对数为10,000，000，000。见面后，纳皮尔向布里格斯建议，新对数表应以10为底，且1的对数为0，整个正弦的对数为10,000,000,000。 1616年，布里格斯再次从伦敦去爱丁堡拜访纳皮尔，并计划于翌年暑期再次拜访他。令人痛心的是，纳皮尔不幸于翌年春天去世。 1624年，布里格斯出版他的《对数的算术》，书中包含从1到20,000以及从90,000到100,000的14位对数表。 1628年，弗拉克补充了从20,000到90,000的对数，出版了完整的常用对数表。